
作为一个坚定的唯名论者，古德曼在其最重要的著作《表象的结构》（<i>The Structure of Appearance</i>）中提出了一种消除数的方案。他声称可以不使用数的概念而不至于影响数学的工作。这听起来有点天方夜谭，而且简单的表达就会直接产生混乱来：一种没有“数”的“数学”？所幸的是，我的读者应该不至于在三段论中思考其中的混乱在什么地方。

无论如何，古德曼和许多其他哲学家一样，认为我们的现代逻辑尽可以排除全部的本质对象，唯独难以对付数的本质存在问题。我们可以把任何对象纳入到外延逻辑中，那样，说一个对象 a 是什么，就是要我们提出明确的一个类，这个类以对象 a 作为其一个成员。我们把这样的类写成 Fx 的形式，其中的 F 表示这个类本身，而 x 占据一个变项的位置，它的任何取值就是这个类的一个成员，它的值域就是 F 本身。把 F 看成一个集合，我的意思是说，所有的能够被带入到 x 位置上的常项 a1,a2,a3,…an 的全体就是集合 F。我们避开了可能引起罗素悖论的一个问题，即“a1,a2,a3,…an 的全体”可以有的另一种理解：不属于这个集合的成员但又是这个集合的成员所构成的那种东西。那种东西是什么呢？它绝对不是盛一堆小球的那个篮子，虽然我们的确会在这个比喻的意义上这么理解 F 的这另一种意义。

由此得到的任何这样的集合 F 本身可以成为其他集合的成员。我们现在假定，任何类都是可以被消除的——通过被还原为更低一层的类。此外，类是外延性的，我们不用担心有任何模糊之处。类的个体化原则只有一条，即有相同的成员。我们还假定，在一种唯名论的方案里，所有的事物都被处理成类的问题了，除了一些技术上的细节，比如有些哲学家设想的那种不能称其为对象的东西，诸如叫它们为半体、元感等等。

说到这里，我们就发现，以上两个假定是有问题的。第一个问题是，我们的这个类的世界会有一个原初的类吗？如果把任何一个类向下一直还原，我们就会遇到这个困难：我们有可能遇到类的“无根”情况。这在数学上似乎不成问题，只是在一些经验论的哲学家的方案里是个不小的困扰。数学家可以定义类的起点为 0，而 0 是一个空集，它没有成员或以其自身为成员。罗素和怀特海在《数学原理》中就是这么做的。往下“寻根”的烦恼解决了，往上“伸展”的烦恼马上又跳出来了。有没有这样一个类，它不是任何类的成员，而是所有其他类的类呢？我们暂且把这个类叫做“真类”（proper class）或者“终极的类”（ultimate class）。

这个问题有许多面向，出于各种不同的考虑，不同的理论家给出的处理不尽相同。既然我们有些哲学家是用集合来说明数的，那么如果不能解决这个“终极的类”的问题，他们的这整个方案就会遭到失败，至少可以说是有漏洞的，而这样的漏洞是形式化的方案绝不能容忍的。因为，承认这个漏洞将意味着，有个（些）数是不能用集合来定义的，那它（们）因而就是异质的；如果它（们）不是异质的话，那么向后回溯，所有以前被用集合来定义的数将因而变成和它们一样的性质的东西，最终，所有的数都不能被用集合定义为类。从这个观点看，如果数不是类，那它们会是什么呢？柏拉图主义者会跳起来告诉我们，数是抽象的理念，是一种只能被我们思维但又不存在于任何物理世界中的实在！“不存在于任何物理世界中的实在”！？如果我们的唯名论者不能按下这些柏拉图主义者的肩膀，那他们就可能后续遭遇一系列的糟糕的后果：一旦敞开了这个口子，即承认有抽象对象的存在，那么不仅在数的问题上，在许多其他问题上，一批又一批原先被封印的抽象实体都可能会复活了。

说到这里，我必须插入一个说明。抽象对象是这样一种对象，对它的描述是内涵性的。这就是说，我们只能描述该对象的属性或者性质，从而在一定程度上确定它有哪些外延，但我们不能一一枚举它们，否则的话这个对象就变成了外延性的类了。属性（attribute）或性质（quality）对于抽象对象的描述是必要的：我们只能通过给出对某个抽象对象的属性或性质的描述从而期待人们可以找到该对象指称的个体。

假如数的存在问题是唯名论者的哲学规划中最后一块要啃的骨头，他们会有什么方案呢？让我们设想一个方案。这个方案在许多细节上是值得推敲的，但对于讨论我们当前的问题来说足够了。

我们假定不使用数，而只用数字来开展我们的工作：描述那些类及其成员。写下的“一”、“二”、“三”或“1”、“2”、“3”并不是数本身，而是用来指称数这些对象的符号。为了避免语言习惯造成的困扰，让我们假定“1”、“2”、“3”就是数本身，然后看看能不能有一种方案，使得我们不用数也能完成我们的工作：我们将尝试建立一个非数的集合来充当数的集合所扮演的角色。一开始，设想我们在墙上刻下一个符号，这个符号代表数 0；接着刻下是另一个符号，与第一个符号不同，代表数 1，以此类推。称我们刻下的是“符号”会有些误导人以为它们与意义绑定了，而其意义是数。所以我们不妨就说它们是“刻画”（inscription）。刻画就是一批绝不彼此相同的图像，从而使得我们的直觉可以分辨它们的个体性。鉴于刻画是这样的，我们可以用宇宙中所有形状不同的尘埃来充当它们的角色。这样，我们可以说，用宇宙中的对象来说明数似乎有很有希望，我们不需要数的概念，而只需要直觉上分辨个体就行。

我们就这样一直刻画下去，每一次的刻画都产生一个数。（注意，一方面，我们这样做的目的是最后把数抛弃，但为了更好理解我们才暂时允许数存在；另一方面，我们的逐次刻画过程，是不假定数的，我们只有递归的概念，即一个接一个地。可以比较容易理解，“一个接一个”也只是为了能够更好地理解，实际上这样说不必预设有数。）这是个看起来结束之时遥遥无期的过程，似乎只要我们能够刻下足够多的彼此不同的刻画，或者找到足够多的彼此不同的宇宙的尘埃，这个过程看起来就不会停止。现在我们面临一个重大抉择：我们能够结束这个过程吗？

如果我说，只要宇宙的时间无限长，或者我们把工作移交给上帝，这个过程可以无限进行下去，但它是以上述所列的条件为转移的。如果使“刻画”的程序得以进行下去的适当条件没有了，那么就会停止产生数，最后产生的全部数就是我们在宇宙中所能拥有的全部数。我们对此没有什么可以感到惋惜的（如果那时候我们还可以惋惜的话），数的真相是宇宙中有限事物的某种程序的产出，它是有限的。

你可能马上对我说，“你的结论矛盾重重，漏洞百出。你多次使用了‘能够’这个词，而它的主词是宇宙或者上帝。你要假定宇宙或上帝的某种性质或属性来决定数的产生的过程。且不说你没法做到这一点，即便你能如愿以偿，那么即使数被封印了，宇宙或上帝作为内涵对象又出来了，你对它们所能有的描述只是‘可能’、‘大概’。即使你说，宇宙或上帝必然会终止这个程序，你也没法避免谈论它们的属性或性质。它们的属性或性质在产生数这个问题上是，它将只能产生有限的数。在这两种情况下，为了不使对宇宙或上帝的描述陷于内涵性的描述，你必须反过来借助于数来说明它们，但这样我们又必须预设数是什么。”

我如果问你的答案是什么的话，你或许会说，“我认为这个过程将无限地进行下去。我不会像你那样对宇宙或上帝的属性或性质有什么预设，如果它们恰好能够保证这个过程一直进行下去，这样最好；如果它们失败了，理念上，这个过程还应该继续进行下去。没错，我认为，即使全部的宇宙湮灭了，甚至上帝也消亡了，数还是会被无限地产生下去；或者这时还说它被产生已经不合时宜了，那我一直想说的是，全部的无限的数本来就一直存在着。”

我问你，这一切都是以什么保证的？是理念吗？理念是什么东西呢？有可能会比宇宙或上帝永恒？我们的对话到这里已经可以告一段落了。

让我们看看出路在哪里。我们会设定一个级数 w，这个 w 已经是我们能够想象的无限大的数，但同时如果我们“需要”，它还可以继续向前推进。这样，我们其实有无限个 w，而且理论上，任何数都可以是 w。假定我们有 a1、a2、a3、… aw 个对象，在如下意义上我们可以有一个集合 F{a1,a2,a3,…,aw}：w 虽作为一个无限的数但暂停推进到下一个数，在这种意义上我们不必绕弯子，在特定的场合中，我们可以放心地说 w 是个确定的数字，以至于说我们有有限个对象，并说它们组成集合了 F。在另外一种意义上，w 作为无限的数且不被阻止做进一步推进，我们就有无限个对象。此时我们还愿意说我们还有个集合 F 吗？“a1、a2、a3、… aw 的全部”到底是什么意思？说“F 是有 a1、a2、a3、… aw 成员的集合”是什么意思？

在第二种情况下，我们可以说，F 不是个集合；这就是说，F 不是我们理解的类。那 F 是什么呢？现在有一个不错的头衔可以给 F，那就是属性或性质。我们记得，F 是我们用递归程序产生出来的。F 的成员是有可靠的程序产生的，但这个程序又产生了不能一一枚举的对象：F 的确拥有一些对象，而且似乎可以无限确定其他一些对象，但似乎又有一些对象，是必然不能被确定的，因为 F 是无限膨胀的，没人会在任何时刻肯定那时不是 F 成员的对象 aw 是不是在未来某一刻被确认为 F 的成员。

如果我们没有说错的话，属性正是以这种方式为我们所使用的一种东西。我们在这样的 F 中会感到有一种“本质”在其中，它不等于 F 本身，也不是 F 的那些对象，甚至也不是那些程序，但它能够决定什么对象是属于 F 的。这样，我们找到了一种理解“属性”和“本质”的方式。

这个思考对我们还有其他帮助吗？让我们设想一个休谟式的问题。每一次我们都观察到，当把纸放在火上，纸都会燃烧。实验重复了无数次（那是一个级数 w），在我们的有生之年。我们能够断定，火有燃烧纸的性质吗？同样可以设想，这个工作移交给了上帝。上帝能为我们证明火有燃烧纸张的性质吗？如果采用我们上面对级数的处理，上帝在某种意义上的确可以为我们带来安慰。当然，对于这个例子，今天的哲学家已经有了许多全然一新的讨论。

一个不是任性的发挥。来想一个问题。如果我们说法律是一种正在展开的叙事，每一次我们在决定“此时此刻法律的要求是什么”的时候，我们都不是在做如下这样的事情，即先确定哪些东西是法律，犹如已经确定了集合 F 的全部成员，而是在决定如何做了，把用来说明或证成我们的决定的理由看作是法律，这样的所谓法律既在我们的这个决定之前，又可以说在我们决定之后产生，我们就好像一直在推进一个被叫做法律的集合 L 的膨胀（或者说变化），每一次都往里面增加对象，但却不可能在任何时刻说，“哝，那就是法律”。关于这个问题，我们必须讨论下必然性的问题，既然我们已经做好前面那些准备。

2019/9/12
江湾


作为一个坚定的唯名论者，古德曼在其最重要的著作《表象的结构》（The Structure of Appearance）中提出了一种消除数的方案。他声称可以不使用数的概念而不至于影响数学的工作。这听起来有点天方夜谭，而且简单的表达就会直接产生混乱来：一种没有“数”的“数学”？所幸的是，我的读者应该不至于在三段论中思考其中的混乱在什么地方。

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